该短语是with的复合结构（"with + 逻辑主语 + 分词"），表示"在所有人都同意的情况下""由于所有人都达成一致"，强调主句动作发生的背景、伴随状态或原因。
with：介词，引出"复合结构"，作状语（修饰主句的动作或状态）；
everybody：逻辑主语（独立于主句主语的另一主体）；
agreeing：现在分词（逻辑主语"everybody"与"agree"是主动关系，即"所有人主动同意"）。
该结构通常在句中作伴随状语、原因状语或条件状语，说明主句动作的"背景环境"。
With everybody agreeing, the meeting ended smoothly.
（在所有人都同意的情况下，会议顺利结束了。）
→ 强调"会议结束"时的同步状态：所有人都达成了一致。
We can start the project early with everybody agreeing to the timeline.
（由于所有人都同意时间表，我们可以提前启动项目。）
→ "所有人同意"是"提前启动项目"的原因。
With everybody agreeing to help, the task will be finished in no time.
（如果所有人都同意帮忙，任务很快就能完成。）
→ "所有人同意帮忙"是"任务快速完成"的前提条件。
with的复合结构可根据"逻辑主语与动词的关系"调整分词形式：
主动关系→现在分词(doing)：with sb doing（如with everybody agreeing）；
被动关系→过去分词(done)：with sth/sb done（如with the plan approved 计划被批准）；
将来关系→不定式(to do)：with sb to do（如with him to lead 由他来领导）。
"with everybody agreeing"本质是with引导的伴随/原因状语，核心是"所有人主动同意"的状态，用来补充说明主句动作的背景。理解时需注意"逻辑主语（everybody）"与"分词（agreeing）"的主动关系，以及它在句中作状语的功能。