根据语境不同，chase after 的用法可分为两类：
表示“跟在后面快速移动，试图追上某人/某物”，强调“追赶的动作过程”。
后接名词/代词作宾语（宾语是“被追的对象”）。
常见场景：追人、追动物、追交通工具等。
The kids chased after the ice cream truck down the street.（孩子们沿街追赶冰淇淋车。）
A dog chased after the cat into the garden.（一只狗追着猫跑进了花园。）
He dropped his phone and chased after it as it rolled down the hill.（他的手机掉了，他跟着滚下山坡的手机追过去。）
引申为“努力获取或实现某事物”，或“追求某人（浪漫关系）”，强调“持续的努力或渴望”。
后接抽象名词（如 dream, goal, fame, love 等）或人作宾语。
She’s been chasing after her dream of becoming an astronaut since she was a child.（她从小就一直在追求成为宇航员的梦想。）
Many people chase after money and power but forget about happiness.（很多人追求金钱和权力，却忘记了幸福。）
He’s been chasing after her for months, but she’s not interested.（他追了她好几个月，但她没兴趣。）
例如：
I chased the bus. = I chased after the bus.（我追公交车。）
chase after sb./sth.：追赶/追求某人/某物（核心结构）
stop chasing after：停止追赶/追求
keep chasing after：继续追赶/追求
总结：chase after 是一个灵活的短语，既可以描述具体的“追赶”动作，也能表达抽象的“追求”行为，日常口语和书面语中都很常用。