establish：此处意为“[通过证据/程序] 确立；证实；使...成立”（强调“用事实/逻辑固定结论”的过程）；
sb.'s guilt：“某人的罪责/有罪”（guilt 是抽象名词，指“对罪行的责任”，而非具体“罪行”——具体罪行常用 crime）。
该短语是正式用语，主要用于法律、刑侦、严肃调查等场景（日常对话中很少用，除非讨论重大案件）。
通常是负责“证实罪行”的主体，如：
警方（the police）、检察官（the prosecution）、调查人员（investigators）；
证据（evidence）、证词（testimony）等“工具性主语”（需用 help/aid 等词连接）。
努力/尝试证实：work to establish / try to establish / attempt to establish；
成功证实：manage to establish / succeed in establishing；
借助工具证实：help establish / aid in establishing / be crucial to establishing。
主动态：主语 + establish + sb.'s guilt
e.g. The prosecution worked tirelessly to establish the defendant's guilt.（控方不懈努力证实被告有罪。）
被动态：sb.'s guilt + be established + (by 主语)
e.g. His guilt was finally established by new forensic evidence.（新的法医证据最终证实了他的罪行。）
1、 The police gathered DNA and witness statements to establish the suspect's guilt.（警方收集了DNA和证人证词，以证实嫌疑人有罪。）
2、 It took months of investigation to establish her guilt in the embezzlement case.（花了数月调查才证实她在挪用公款案中的罪行。）
3、 The video footage was key to establishing the robber's guilt beyond a reasonable doubt.（监控录像对“毫无疑问地证实劫匪有罪”起到了关键作用。）
prove sb.'s guilt：更通用，强调“证明结论”（可用于日常或正式场景）；
establish sb.'s guilt：更正式，强调“通过系统程序/证据确立结论”（更贴合法律语境）。
总结："establish sb.'s guilt" 是法律/严肃调查中的正式表达，核心是“用证据/程序固定某人的罪责”。