英语短语"be under the illusion that…"的核心含义是“误以为……；对……抱有错觉/幻想”，用于表达某人坚信一个不真实或错误的想法（说话者通常知道真相，隐含“纠正对方认知”的意味）。
"be under the illusion" 字面是“处于某种错觉/幻想之中”，强调“被错误认知笼罩的状态”；
"that…" 引导同位语从句，具体说明“错觉的内容”（即某人误以为的“事实”）。
主语（人） + be动词（根据时态调整） + under the illusion that + 陈述句（从句，说明错觉内容）
主语必须是人：只有人才会产生“错觉”，不能用于物；
从句是“错觉的具体内容”：即某人坚信但不真实的想法；
隐含“纠正”意味：说话者用此短语时，通常知道真相，旨在指出对方的错误。
He’s under the illusion that he can quit smoking easily.（他误以为自己能轻易戒烟。）
Many young people are under the illusion that fame brings happiness.（很多年轻人误以为名气能带来幸福。）
I was under the illusion that you’d already finished the report.（我误以为你已经写完报告了。）
在be动词后加not，表示“清楚事实，没有错觉”：
I’m not under the illusion that this task will be simple.（我没有误以为这项任务很简单。）
She’s not under the illusion that her ex will come back.（她很清楚前任不会回来，没有抱有幻想。）
have the illusion that…：与原短语意思几乎一致，更强调“拥有某错觉”（如：He has the illusion that he’s a good singer. 他误以为自己是个好歌手。）；
be mistaken in thinking that…：更直白的“误以为”（如：She was mistaken in thinking that I’d agree. 她误以为我会同意。）；
harbor the illusion that…：更正式，强调“暗藏/持有错觉”（如：The company harbors the illusion that profits will rise next year. 公司对明年利润增长抱有错觉。）。
不能接不定式：需用that从句表达错觉内容（错误：be under the illusion to do；正确：be under the illusion that sb does/sth is）；
"the" vs "an"：若错觉是特指（后面有that从句限定），用the；若为泛指（后面接about短语），用an（如：He’s under an illusion about his popularity. 他对自己的受欢迎程度抱有幻想。）。
总结："be under the illusion that…"是一个实用的表达，用于委婉或明确地指出他人的错误认知，适用于口语和书面语，是日常交流和写作中纠正观点的常用短语。