make a claim：固定搭配，意为“提出索赔/请求/主张”（强调“正式提出要求”的动作）；
for damages：介词短语作后置定语，修饰“claim”。其中 damages 是复数形式，特指“（法律上的）损害赔偿金”（≠ 单数“damage”表示“损坏/破坏”）。
该短语通常用于一方因另一方的过错/违约而遭受损失，向对方（或保险公司、法院）正式要求赔偿的场景，常见于：
交通事故（如车被撞、人受伤）；
合同违约（如供应商未按时交货导致损失）；
财产损坏（如租的房子被房客破坏）；
人身伤害（如被商家的设备砸伤）。
交通事故场景：
After the car accident, the victim made a claim for damages against the negligent driver.
（车祸后，受害者向肇事司机提出了损害赔偿请求。）
合同违约场景：
The restaurant made a claim for damages to the food supplier because the spoiled ingredients caused them to close for two days.
（餐厅因供应商提供的变质食材导致停业两天，向其索要损害赔偿金。）
保险理赔场景：
If your luggage is lost by the airline, you can make a claim for damages with their customer service.
（如果航空公司弄丢了你的行李，你可以向其客服提出损害赔偿请求。）
主语：通常是“遭受损失的一方”（受害者、受损方）；
搭配介词：后接“for”表示“针对…（损失）”，若要说明“向谁索赔”，需加“against sb.”或“with sb.”（如上述例句）；
法律语境：在民事诉讼中，“make a claim for damages”是原告的核心诉求之一（即“请求法院判被告赔偿损失”）。
简单来说，这个短语就是“因为被损害而要钱”的正式表达~