“书面证明”常见的英文表达是 “written proof” 或 “written certification”。
“written proof” 侧重于强调作为证据的书面材料，例如：You need to provide written proof of your identity.（你需要提供身份的书面证明。）
“written certification” 更强调正式的书面认证、证明文件，例如：The company requires a written certification from your previous employer.（公司需要你前雇主出具的书面证明。 ）