“私下出售的”可以用英语表达为 “privately sold” 或 “sold on the black market/unofficially”（具体取决于语境和强调的侧重点）。
Privately sold：这是最直接、中性的表达，指物品或资产在非公开的市场上，通过私人交易的方式被出售，不涉及任何非法或不当行为，单纯强调出售方式的私密性。例如：The antique vase was privately sold to a collector.（那个古董花瓶被私下卖给了一位收藏家。）
Sold on the black market/unofficially：这种表达带有一定的负面含义，暗示出售行为可能未经官方许可或涉及非法交易，常用于描述走私、逃税等违规行为。例如：The stolen artwork was reportedly sold on the black market.（据报道，那幅被盗的艺术品在黑市上被出售了。）